Description du livre
La phrase de Gödel, vraie mais impossible à améliorer à partir du premier théorème de l'incomplétude, est purement logique par nature, c'est-à-dire qu'elle n'est pas mathématiquement naturelle ou intéressante. Un problème intéressant est de trouver des énoncés mathématiques naturels et intéressants qui sont tout aussi impossibles à prouver. Beaucoup de recherches ont été menées dans ce sens, notamment par Harvey Friedman. De nombreux exemples d'inachèvement concret avec un contenu mathématique réel ont été trouvés à ce jour. Ce mémoire contribue au programme de recherche de Harvey Friedman sur l'incomplétude du béton pour l'arithmétique d'ordre supérieur et donne un exemple spécifique de théorèmes mathématiques concrets qui est exprimable en arithmétique de second ordre mais le système minimal en arithmétique d'ordre supérieur pour prouver qu'il est arithmétique de quatrième ordre.
Ce livre examine d'abord la question fondamentale suivante : tous les théorèmes en mathématiques classiques peuvent-ils être exprimés en arithmétique du second ordre en arithmétique du second ordre ? L'auteur donne un contre-exemple pour cette question et isole ce contre-exemple du théorème de Martin-Harrington en théorie des ensembles. Il montre que l'affirmation "le principe de Harrington implique une netteté nulle" n'est pas prouvable en arithmétique du second ordre. Ce livre examine en outre quel est le système minimal en arithmétique d'ordre supérieur pour prouver le théorème "principe de Harrington implique zéro pointu" et montre qu'il n'est ni prouvable en arithmétique de second ordre ou de troisième ordre, mais prouvable en arithmétique de quatrième ordre. Le livre examine également la grande force cardinale du principe de Harrington et son renforcement sur l'arithmétique de second ordre et de troisième ordre arithmétique.